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话题： #数学###微积分# #场论#建立小石子/函数是实数上的映射( f(x ) () )、
如果将函数的定义域变换为向量，则成为多元函数(记为f:)； 如果将函数的伴随转换为向量，则变为向量函数(记为f:)； 多元向量函数多称为场()表示。
注意：为了清楚起见，正文中的所有向量或向量函数都必须使用粗体。
低维向量在物理学中被广泛使用，它们常常被称为向量，同时场的概念最初也来源于物理。 《矢量分析与场论》正是关于微积分在三维向量空间中应用的数学课，小石今天给大家介绍的梯度、旋度、分散度是这门课最重要的概念。 当然，这里小石不打算遵循本宣科《矢量分析与场论》的内容，希望能从更容易理解的角度展开。
注：向量和向量是同一个英语单词vector的不同翻译。
根据《高等数学》的知识，导数是
函数f:其上任意一点x的变化率。 与函数只有x轴的直线方向不同，三元函数f(x，y，z )其上的任意一点p=( x，y，z ) )有无数不同的方向，从而有无数不同的变化率。 为此，可以分别取与x、y、z轴对应的方向I=( 1，0，0 )、j=) )
这些被称为偏导数，构成向量。
称为梯度，因此，与任意方向(=XiyjZK，|=( )x )y )z ) ) 1对应的变化率称为f=f/=grad ) f )。 根据矢量点乘的性质，方向导数实际上是在grad(f )上的投影，即当与grad(f )方向一致时，方向导数
梯度grad(f )的方向表示f在任意一点p变化最快的方向，变化率为|grad(f ) ) p|。 三维场f(x，y，z ) ) ( p ) x，y，z )，q ) x，y，z ) )中，沿着平面闭曲线场的曲线积分称为环量，环量与曲线包围的面积之比称为环量面密度。 取三维空间中的任意一点p=(x，y，z ) )，考虑p处的环量面密度。 为了简化计算，将矩形的框作为封闭曲线，以逆时针方向为正方向，用右手螺旋状确定方向。 因为矩形框是二维的，所以在三维空间中有不同的方向，而且为了对应不同的环量面密度，可以先取得x、y、z轴的3个方向的方向，计算分别对应的环量面密度：
以z轴为方向，以p为中心制作x y大小的小矩形框，使其4边a、c和b、d分别与x和y轴平行，f在p点的值为f(p )=) p、q， 虽然已知r )，但是根据前梯度的知识，p/x和q/x分别是p附近的沿着x轴方向的p和q的变化率，由于矩形框非常小，所以f的p值为f(p ) f(p ) p/x )x/2，q ) 和2 )一样，因为矩形框非常大，所以可以认为a边上所有点的f值是相同的，所以矩形框a边的环量为[f(p ) j )y=[(p ) p/x ]x/2，q ) q/x ]x/2，r 由于成为r-((r/x )x/2 )，所以c边的环量成为[f(p ) ] (-j ) )y的r-(r/x )x/2 ) ) 0、-1， 0 ) )y=(-q ) q/x )x/2 )y因此，矩形框x轴方向的循环量(即，a c边的循环量)为) q(q/x )x/2 )的矩形框的y轴方向的循环量
与上述同样，能够求出x轴和y轴方向的环量面密度分别为r/y-q/z和p/z-r/x； 且，三个方向环量面密度构成一个矢量，
被称为旋转度，这种任意方向的环量面密度，
在上面的三维场f中，曲面一侧的场的曲面积分也称为通量，封闭曲面外部的通量与曲面包围的体积之比也称为通量密度。 接下来，考虑一下p点处的通量密度。 为了简化计算，将立方体作为闭曲面，以p点为中心制作xyz大小的立方体，使通过任意顶点的3条边分别与x、y、z轴平行。
与上述相同，由于立方体非常小，f(p )=(p ) p/x )x/2，q ) q/x )x/2，r ) r/x )x/2 )也同样，由于l面非常小，f位于其上的各点的值为f q ) q/x )x/2，r(r/x )x/2 ) ] ( 1，0，0 ) )yz=[f(p ) )-I ) ]Sr=(p-(p/x )x/2，q-) 于是，总通量为xyz。 xyz正好是立方体的体积。 因此，通量密度，
这叫分散度。 这样我们就很容易地引入了概念
梯度： grad(f )=) f/x，f/y，f/z )三元函数f ) x，y，z )的任意一点处的沿x、y、z轴的三个直线方向的变化率；
(旋转角度) rot ) f ) ) ( r/y-q/z，p/z-r/x，q/x-p/y ) )三维场f ) ) p、q、r ) )在任意一点上，朝向x、y、z轴三个方向
分散度： p(f )=p/xq/yr/z三维场f ) ( p，q，r )在任意一点的通量密度； 也说明它们的几何意义。 不简单吗？ 当然，在物理学上为了方便起见，引入了汉密尔顿函数(读作(Nabla )，
这样，梯度、旋转度、分散度分别为
注)上述后一种表达方式只是形式上的，但实际上在数学上用来表示黎曼联系，他是梯度的升级概念。
(那么，以上就是正文的内容。 如果大家还有余力的话请看副文。 请喜欢。 (副1 )谈上同调
副2 )关于微分线性化的说明
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